Un multiple original de 5 - Corrigé

Énoncé

Démontrer que \(1^{2024}-2^{2024}+3^{2024}-4^{2024}\) est un multiple de \(5\) .

Solution

On note \(N=1^{2024}-2^{2024}+3^{2024}-4^{2024}=1-2^{2024}+3^{2024}-4^{2024}\) . 

• On remarque que \(2^2 \equiv 4 \equiv -1 \ [5]\) ,
  donc  \(\begin{align*}2^{2024}\equiv 2^{2 \times 1012}\equiv (2^2)^{1012}\equiv (-1)^{1012}\equiv 1 \ [5].\end{align*}\)  
  
• On remarque que \(3 \equiv -2 \ [5]\) , 
  donc  \(\begin{align*}3^{2024}\equiv (-2)^{2024}\equiv 2^{2024}\equiv 1 \ [5].\end{align*}\)  
  
• On remarque que \(4 \equiv -1 \ [5]\) , 
  donc  \(\begin{align*}4^{2024}\equiv (-1)^{2024}\equiv 1 \ [5].\end{align*}\)   
  

On en déduit que : \(\begin{align*}N\equiv 1-2^{2024}+3^{2024}-4^{2024}\equiv 1-1+1-1\equiv 0 \ [5]\end{align*}\) c'est-à-dire que \(1^{2024}-2^{2024}+3^{2024}-4^{2024}\) est un multiple de \(5\) .